Kiekviena sistema apibūdinama laikinėje ir dažninėje ašyje. Diskretinės sistemos laikiniai parametrai aprašomi impulsine harakteristika, o dažniniai - dažnine charakteristika. Jos tarpusavyje glaudžiai susijusios ir panaudojant Furjė transformaciją galima gauti kažkurią iš dviejų charakteristikų, kai turima kita.
Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika h(n) apibūdina sistemą kaip n funkciją. Kintamasis n dažniausiai yra diskretinio laiko momentas, todėl ir pati charakteristika paprastai yra vadinama laikine.
Tačiau kaip ir diskretinis signalas apibūdinamas ne tik laikine, bet ir dažnine charakteristika (spektras), taip ir diskretinę sistemą galima apibūdinti dažninėmis charakteristikomis. Tarkime, sistemos įėjime veikia kompleksinės eksponentės pavidalo seka
Ši seka yra periodinė, o periodas lygus 2π, nes pagal Oilerio (L. Euler) formulę galime užrašyti
Įrašę seką (1.4.4) į kompozicijos išraišką (1.2.5), sistemos išėjime gauname:
t.y. tą pačią įėjimo seką, padaugintą iš kompleksinio dydžio
vadinamo sistemos dažnine charakteristika. Taigi sistemos dažninė charakteristika yra sistemos perdavimo koeficientas kiekvienai dažnio ω reikšmei.
Paprastai dažninės charakteristikos vaizduojamos ne kampinio dažnio ω (rad/s) ašyje, paprasto dažnio f (Hz) ašyje. Nustatykime dažninės charakteristikos pasikartojimo periodą Hz ašyje. Kampinis dažnis ω su analoginio signalo dažniu f susijęs priklausomybe
tačiau kalbant apie diskretizuotą signalą reikia įvertinti ir diskretizavimo dažnį Fd, nuo kurio priklausys imčių kiekis. Tuomet diskretinio signalo atveju (1.4.8) išraiška pakeičiama į (1.4.9) priklausomybę:
Iš paskutinės išraiškos matosi, jog kampinis dažnis ω įgaus reikšmę 2π tik tada, kai momentinis signalo dažnis bus lygus Fd. Vadinasi diskretinės sistemos dažninė charakteristika pasikartos su periodu Fd.
Dažninei charakteristikai, kaip ir eksponentinei funkcijai galima suteikti rodiklinį pavidalą:
Dažninės charakteristikos modulis vadinamas amplitudės dažnine charakteristika (ADCh), o argumentas – fazine dažnine charakteristika (FDCh).
Paprastai sekos h(n) nariai yra realūs skaičiai, todėl ADCh yra lyginė dažnio ω funkcija, o FDCh – nelyginė. Kaip ir diskretizuoto signalo dažninė charakteristika, diskretinės sistemos ADCh pasižymi simetrija kas Fd/2 arba π – charakteristikos dalis diapazone Fd/2 – Fd yra identiškas veidrodinis atspindys charakteristikos, diapazone 0 – Fd/2. Panašiai elgiasi ir sistemos FDCh, tik reikia įvertinti, jog ji – nelyginė funkcija.
Apskaičiuokime dažninę charakteristiką sistemos, kurios impulsinė charakteristika šitokia:
Pagal (1.4.6) formulę
Kadangi a<1, tai turime begalinę mažėjančią progresiją, kurios suma lygi
Dažninę charakteristiką išreiškę rodikliniu pavidalu, gauname ADCh
ir FDCh
Charakteristikų grafikai pavaizduoti 1.4.2 pav.
Reikia atkreipti dėmesį, jog diskretinės sistemos dažninės charakteristikos dažnio ω atžvilgiu yra nediskretinės funkcijos (1.4.2 pav.).
Taikant (1.4.10) išraišką dažninių charakteristikų skaičiavimui reikia nepamiršti, jog dažnis ω – yra kampinis dažnis, kintantis diapazone nuo 0 iki 2π. Verčiant į dažnį hercais, naudojama (1.4.8) išraišką dažnio sunormavimui.
Apskaičiuokime antrosios eilės diskretinės sistemos dažninę charakteristiką. Sistema aprašoma skirtumine lygtimi
Remdamiesi (1.4.10) užrašome dažninę charakteristiką:
Iš gautos dažninės charakteristikos gavus modulį ir argumentą, gaunamos amplitudės ir fazės dažninės charakteristikos. Charakteristikų grafikai pateikti 1.4.3 pav., kai a1=1,5, a2=0,9 ir b0=1.
1.4.3 pav. ADCh ir FDCh iš skirtuminės lygties
Taigi diskretinės sistemos dažninė charakteristika gali būti gaunama iš sistemos impulsinės reakcijos arba skirtuminės lygties. Tačiau egzistuoja ir priešinga priklausomybė – žinant dažninę charakteristiką galima gauti impulsinę charakteristiką, o iš jos ir skirtuminę lygtį.
Taigi (1.4.6) ir (1.4.11) sudaro Furjė transformacijų porą.
Apskaičiuokime idealaus žemutinių dažnių filtro (1.4.4 pav., a) impulsinę charakteristiką.
Filtro dažninė charakteristika intervale –π<><π užrašoma>
Impulsinę charakteristiką apskaičiuojame pagal (1.4.11) formulę
Šio filtro negalima realizuoti, nes netenkinama sąlyga (1.2.10), t.y.
Be to šis filtras yra nestabilus. Praktikoje naudojami realizuojami ir stabilūs filtrai, kurių dažninės charakteristikos yra artimos idealaus žemutinių dažnių filtro dažninei charakteristikai.
1.4.4 pav. Idealaus filtro dažninė ir impulsinė charakteristikos